공간에 대한 수학

게임세계는 현실세계를 모방한 가상세계이다.

하지만 현실세계는 불확실하지만 컴퓨터로 만든 가상세계는 수로 만들어진 명확한 시스템이고 이를 표현하는 일반적인 방법은 벡터 공간으로 표현하는것 이다.

벡터 공간 : 수의 체계를 기반으로 해서 쌓아올린 다차원의 데이터

벡터와 스칼라

벡터 공간은 벡터와 스칼라로 구성된다.

• 벡터 : 크기와 방향을 가진 물리량, 벡터 공간의 원소

• 스칼라 : 크기만 가진 물리량, 체 집합의 원소

체의 개념

체 집합: 어떤 특정한 규칙을 따르는 집합 이다. 기본적으로 세가지 성질을 만족 해야한다.

1. 닫힘 : 체 집합에 속하는 임의의 두 원소를 더하거나 곱하면 그 결과 또한 체 집합에 속하는 원소이다
2. 결합 법칙
3. 항등원

여기서 덧셈과 곱셈은 일반적인 수학적 덧셈과 곰셈과는 다른 형태일수 있다.

체 집합의 에시 : 실수 체 , 유리수 체, 정수 체 , 유한 체 등

체 집합의 예시 2

체의 예시 :

1. 자동차의 방향을 나타내는 변수가 있다고 가정,

2. 이 변수는 N,E,S,W와 같은 네 가지 상태를 가질 수 있고, 이때 집합 {N,E,S,W}가 유한체가 된다.

3. 덧셈과 곱셈 모두 해당 방향으로 방향을 변경한다는 규칙을 가진다.

4. 덧셈 연산 -> 현재 방향이 N이고 N을 더하면 방향이 그대로 유지되어 N이다

5. 곱셈 연산 -> 현재 방향이 N이고 S를 곱하면 방향이 S로 바뀐다

6. 항등원 -> 현재 방향과 같은 값을 더하거나 곱하면 현재방향이 나온다.

7. 결합법칙 -> N * (S *E) = (N * S) * E = E

이렇게 자동차의 방향을 나타내는 유한 체 집합이 정의하였고 집합 {N,E,S,W}는 체집합이 되었다.

선형 변환과 행렬

1초에 많은 프레임을 찍어내기 위해서는 공간의 변환이 빠르고 단순 명료하게 이루어져야 한다.

그렇게 때문에 공간의 변환은 선형 변환을 통해서 이루어진다.

이를 컴퓨터가 수행하도록 하는 도구가 행렬이고 이를 통해 가상 공간이 빠르게 변화할 수 있다.

평면의 방정식

평면의 방정식을 사용해 여러개의 평면으로 이루어진 공간안의 영역을 구축해서 활용할 수 있다.

ex ) 카메라가 보는 영역을 절두체(Frustum)으로 구축하고 카메라에 보이는 물체만 렌더링하는 매커니즘

Reference

게임 수학의 이해 - 이득우