게임 수학의 소개 - 물체에 대한 수학 2 (물체를 움직이는 수학)

어떤 게임 화면에 게임 오브젝트가 존재할 때

만약 이 오브젝트의 벡터 공간만 수정하면 게임화면에는 물체가 움직인 것처럼 보일테지만

사실은 물체(로컬공간)은 이동하지 않은것이고 물체의 형태가 변환된것이다. (이동 x , 물체가 a -> a`로 변경)

반대로 오브젝트의 트랜스폼만 수정했다면 물체의 형태를 유지하면서 진짜로 물체(로컬공간)이 이동한 것이다. (이동 o, 물체가 a로 유지)

v1 = (x1, y1), v2 = (x2,y2)
v1 + v2 = (x1+x2, y1+y2)

v = (x,y)
av = (ax,ay)
벡터의 방향 즉 기울기를 유지한 상태에서 크기를 조절한다.

덧셈과 곱셈을 조합하여 사용하면 새로운 벡터를 만들수 있다

a1v2 + a2v2 + ... + anvn = v

평행하지 않은 두 벡터를 선형 조합하는것으로 평면상의 모든 벡터를 생성할 수 있다

> 평행한 벡터는 곱셈만으로 가능하다.

(1,0)과 (0,1)를 표준 기저 벡터 라고한다.

둘을 조합해서 면의 모든 벡터를 생성할 수 있다

3 차원 벡터의 내적 (어떤 차원에서 든지 벡터의 내적연산은 가능하다.)

v1 = (x1,y1,z1), v2 = (x2,y2,z2)

v1 * v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

각 축을 곱해서 모두 더해준다. 이러한 계산은 컴퓨터가 빠르게 계산할 수 있고 많은 곳에서 활용된다. 

예를 들어서

1. 두 벡터가 직교인지 판별

2. 물체의 앞 뒤 판별

3. 시야각 영역안에 물체가 있는지 밖에있는지 

4. 벡터를 다른벡터에 투영시킬 때 사용 

5. 평면의 방정식이 유도되고 이것으로 절두체를 생성한다.

벡터의 외적 연산은 3차원에서만 가능하다.

두 벡터의 외적은 두 벡터에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다

v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2)

v1 X v2 = (y1z2 - y2z1, z1x2- z2x1, x1y2 - x2y1)

각 축의 나머지 축 들을 곱해서 빼준다.

`벡터의 외적은 벡터의 내적으로만은 부족한 부분을 보충`해준다.

1. 두 벡터의 평행성 판별

2. 물체의 좌 우 판별

3. 두개의 벡터로 생성된 평면에 수직인 벡터를 만들수 있다. 즉, 평면의 방향을 파악할 수 있다.

4. 3차원 공간을 구성하는 3가지 축을 모두 외적을 사용하여 계산할 수 있다. ( 면접 단골 질문이라고 한다 )

벡터 v를 기준으로 로컬 좌표축을 구성하는 방법

기준 벡터 v 와 두개의 수직인 보조 벡터 Y와 x를 사용하여 로컬 좌표축 x,y,z를 구성

x(local) = v x Y / |v X Y|
v 와 Y의 외적결과를 정규화 하여 단위벡터로 만든다.

z(local = v / |v|)
z(local)은 단순하게 v벡터를 정규화하여 단위벡터로 만든다.

y(local) = z x x

z(local)과 x(local)의 외적을 통해 구성한다.